賦距空間 (Metric Space)

Definition 1. 距離函數 (Metric) 與賦距空間 (Metric space)

給定一個集合 $M$，一個距離函數 $d \colon M \times M \to \mathbb{R}$ 指的是滿足以下三個性質的函數：

1. (正定性 Positive definite) $d(x,y) \geqslant 0$, $\forall$ $x,y \in M$, 並且 $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
2. (對稱性 Symmetric) $d(x,y)=d(y,x)$, $\forall$ $x,y \in M$
3. (三角不等式 Triangular inequality) $d(x,y) \leqslant d(x,z)+d(z,y)$, $\forall$ $x,y,z \in M$

一個集合 $M$ 與定義在 $M$ 之上的距離函數 $d$，我們稱之為賦距空間 $(M,d)$

Example 1 (Metric space)

1. $(\mathbb{R},d_2)$, $d_2(x,y)=|x-y|$
2. $(\mathbb{R^n},d_2)$, $\displaystyle d_2(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$, 其中 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n)$, $\mathbf{y}=(y_1,y_2,...,y_n)$
3. $(\mathbb{R^n},d_{max})$, $d_{max}(\mathbf{x},\mathbf{y})=\max\{|x_i-y_i|,1 \leqslant i \leqslant n\}$, 其中 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n)$, $\mathbf{y}=(y_1,y_2,...,y_n)$
4. $(M,d)$, $M$ 是任意的集合，$d$ 是離散距離 (discrete metric)，定義為：

$d_M(x,y)=\begin{cases} 1 &,x \neq y\\ 0 &,x=y\end{cases}, \forall x,y \in M$

Proposition 1. 一個關於賦距空間的有趣結論是以下的敘述等價：

1. $(M,d)$ 是一個賦距空間
2. $d:M \times M \rightarrow \mathbb{R}$ 滿足正定性，且 $d(x,y) \leqslant d(x,z)+d(y,z)$

Proof. 

• 由第1.點推論到第2.是顯然的
• 若2.成立，我們需要說明的是距離$d$的對稱性與三角不等式，注意到

\[d(x,y) \leqslant d(x,z)+d(y,z) \leqslant d(x,z)+d(y,x)+d(z,x)\]

Definition 2. 賦距子空間 (Metric subspace)

給定一個賦距空間 $(M,d)$，$S \subset M$，我們稱 $(S,d)$ 為 $(M,d)$ 的一個賦距子空間