賦距空間 (Metric Space)
Definition 1. 距離函數 (Metric) 與賦距空間 (Metric space) 給定一個集合 $M$，一個距離函數 $d \colon M \times M \to \mathbb{R}$ 指的是滿足以下三個性質的函數： (正定性 Positive definite) $d(x,y) \geqslant 0$, $\forall$ $x,y \in M$, 並且 $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$ (對稱性 Symmetric) $d(x,y)=d(y,x)$, $\forall$ $x,y \in M$ (三角不等式 Triangular inequality) $d(x,y) \leqslant d(x,z)+d(z,y)$, $\forall$ $x,y,z \in M$ 一個集合 $M$ 與定義在 $M$ 之上的距離函數 $d$，我們稱之為賦距空間 $(M,d)$ Example 1 (Metric space) $(\mathbb{R},d_2)$, $d_2(x,y)=|x-y|$ $(\mathbb{R^n},d_2)$, $\displaystyle d_2(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$, 其中 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n)$, $\mathbf{y}=(y_1,y_2,...,y_n)$ $(\mathbb{R^n},d_{max})$, $d_{max}(\mathbf{x},\mathbf{y})=\max\{|x_i-y_i|,1 \leqslant i \leqslant n\}$ , 其中 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n)$, $\mathbf{y}=(y_1,y_2,...,y_n)$ $(M,d)$, $M$ 是任意的集合，$d$ 是離散距離 (discrete metric)，定義為： $d_M(x,y)=\begin{cases} 1 &,x \neq y\\ 0 &,x=y\end{cases}, \forall x,y \in M$ Proposition 1....